Что такое энергия уровень ферми. Энергия Ферми

Энергия Фе́рми (EF) системы невзаимодействующих фермионов - это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми - одно из центральных понятий физики твёрдого тела. Физический смысл уровня Ферми: вероятность попадания частицы на уровень Ферми составляет 0,5 при любых температурах. Фермио́н (от фамилии физика Энрико Ферми) - по современным научным представлениям: элементарные частицы, из которых складывается вещество. К фермионам относят кварки, электрон, мюон, тау-лептон, нейтрино. В физике, частица (или квазичастица) с полуцелым значением спина. Фермионы подчиняются статистике Ферми - Дирака: в одном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули). Волновая функция системы одинаковых фермионов антисимметрична относительно перестановки двух любых фермионов. Квантовая система, состоящая из нечётного числа фермионов, сама является фермионом (например, ядро с нечётным массовым числом A; атом или ион с нечётной суммой A и числа электронов)

Примеры фермионов: кварки (они формируют протоны и нейтроны, которые также являются фермионами), лептоны (электроны, мюоны, нейтрино), дырки (квазичастицы в полупроводнике). Принцип запрета Паули ответственен за стабильность электронных оболочек атомов, делая возможным существование сложных химических элементов. Он также позволяет существовать вырожденной материи под действием высоких давлений (нейтронные звёзды).Поверхность Ферми - поверхность постоянной энергии в k-пространстве, равной энергии Ферми в металлах или вырожденных полупроводниках. Знание формы поверхности Ферми играет важную роль во всей физике металлов и вырожденных полупроводников, так как благодаря вырожденности электронного газа транспортные свойства его, такие как проводимость, магнетосопротивление зависят только от электронов вблизи поверхности Ферми. Поверхность Ферми разделяет заполненные состояния от пустых при абсолютном нуле температур. Рис. 1. Заполнение энергетических зон при абсолютном нуле температуры: а - в диэлектриках; б - в металлах; разрешенные зоны заштрихованы, заполненные зоны или их части заштрихованы дважды. Рис. 2. Заполнение энергетических зон в полупроводнике; показаны только валентная зона и зона проводимости; чёрные кружочки - электроны в зоне проводимости, белые - дырки в валентной зоне.

15. Собственный полупроводник или полупроводник i-типа (англ. intrinsic - собственный) - это чистый полупроводник, содержание посторонних примесей в котором не превышает 10 −8 … 10 −9 %. Концентрация дырок в нём всегда равна концентрации свободных электронов. Примеры: Si, Ge Полупроводник без примесей называют собственным полупроводником или полупроводником i-типа . Он обладает собственной электропроводностью , которая складывается из электронной и дырочной. Если к полупроводнику не приложено напряжение, то электроны и дырки проводимости совершают хаотическое движение и никакого тока, разумеется, нет. Под действием разности потенциалов в полупроводнике возникает электрическое поле, которое ускоряет электроны и дырки и сообщает им еще некоторое поступательное движение, представляющее собой ток проводимости . Движение носителей заряда под действием электрического поля иначе называется дрейфом носителей , а ток проводимости - током дрейфа i др . Полный ток проводимости складывается из электронного и дырочного токов: i др = i nдр + i pдр Индексы n и p соответственно обозначают электронный и дырочный вклады. Удельная проводимость зависит от концентрации носителей и от их подвижности. В полупроводниках при повышении температуры вследствие интенсивной генерации пар носителей концентрация подвижных носителей увеличивается значительно быстрее, нежели уменьшается их подвижность, поэтому с повышением температуры проводимость растет. Для изготовления полупроводников применяют в основном германий и кремний, а также некоторые соединения галлия, индия и пр. Для полупроводников характерен отрицательный температурный коэффициент электрического сопротивления. При возрастании температуры сопротивление полупроводников уменьшается, а не увеличивается, как у большинства твердых проводников. Кроме того электрическое сопротивление полупроводников очень сильно зависит от количества примесей (и от типа примесей тоже), а также таких внешних воздействий, как свет, электрическое поле, ионизирующее излучение и т. д. (на этом основан принцип действия фотодиодов, фототранзисторов, магнитоуправляемых приборов и т. п.) Принцип работы полупроводниковых приборов связан с тем, что в полупроводниках существует электропроводность двух типов - электронная и дырочная. Электронная электропроводность характерна для металлов и обусловлена перемещением электронов проводимости. При обычных рабочих температурах в полупроводниках всегда имеются электроны проводимости, которые очень слабо связаны с ядрами атомов и совершают беспорядочное тепловое движение (колебания) между атомами кристаллической решетки. Эти электроны под действием разности потенциалов могут начать двигаться в определенном направлении. Это движение и есть электрический ток. Полупроводники обладают также дырочной электропроводностью, которая редко наблюдается в металлах. Электроны и дырки, которые могут перемещаться, а потому создавать электропроводность, называются подвижными носителями заряда или просто носителями заряда. Весь этот процесс принято называть генерация пар носителей заряда, то есть возникают пары электрон проводимости-дырка проводимости. Вследствие того, что электроны и дырки совершают хаотическое движение, обязательно происходит и процесс, обратный генерации пар носителей. Электроны проводимости снова занимают свободные места в валентной зоне (падающий сверху кружочек на рисунке), то есть объединяются с дырками. Такое исчезновение пар носителей называется рекомбинацией носителей заряда. Процессы генерации и рекомбинации всегда происходят одновременно. Рекомбинация ограничивает возрастание пар носителей, и при каждой данной температуре устанавливается определенное число электронов и дырок проводимости, то есть они находятся в состоянии динамического равновесия.Так же следует отметить, что проводимость чистых полупроводников, значительно ниже примесных. Это связанно с тем, что свободных носителей заряда в примесных значительно больше.

16. Примесные полупроводники Примесный полупроводник - это полупроводник, электрофизические свойства которого определяются, в основном, примесями других химических элементов. Процесс введения примесей в полупроводник называется легированием полупроводника, а сами примеси называют легирующими. Для равномерного распределения легирующей примеси в объеме полупроводника легирование осуществляется в процессе выращивания монокристалла полупроводника из жидкой или газообразной фазы. Локальное легирование части объема полупроводника, например, приповерхностной области, производится методом диффузии при сильном нагреве полупроводника или низкотемпературными методами ионного легирования. Роль примесей могут играть и всевозможные дефекты структуры кристаллической решетки полупроводника, такие как вакансии, междуузельные атомы, дислокации. При малой концентрации примесей (10 21 ...10 23 м -3) примесные атомы создают дополнительные дискретные энергетические уровни в запрещенной зоне полупроводника. Такой полупроводник называется невырожденным. Повышение концентрации примесных атомов в полупроводнике до 10 24 ...10 25 м -3 сопровождается появлением в запрещенной зоне полупроводника вместо дискретных уровней зон примесных уровней. Такие полупроводники называют вырожденными. Различают два основных вида примесей, которые используются для преднамеренного легирования полупроводников и создающих преимущественно электронный или дырочный тип проводимости. Примеси, введение которых в полупроводник создает электронный тип проводимости, называются донорными. Примесь, создающая дырочную проводимость, называется акцепторной. Если к полупроводнику n-типа приложить электрическое поле, то каждый отрицательный носитель приобретет в этом поле ускорение, набирая скорость до тех пор, пока не рассеется на одном из донорных узлов. Это означает, что носители, которые обычно движутся случайным образом, имея при этом тепловую энергию, начнут в среднем повышать свою скорость дрейфа вдоль линий электрического поля, вызвав ток через кристалл. Скорость дрейфа, как правило, по сравнению с типичными тепловыми скоростями очень мала, так что можно, прикидывая величину тока, принять, что от столкновения к столкновению среднее время странствий носителя постоянно. Допустим, что эффективный электрический заряд отрицательного носителя равен q n . Сила, действующая на носитель в электрическом поле E, будет равна q n E. В гл. 43, §3 (вып. 4) мы как раз подсчитывали среднюю скорость дрейфа в таких условиях и нашли, что она равна Fτ/m, где F - сила, действующая на заряд; т - среднее время свободного пробега между столкновениями, а т - масса. Вместо нее надо поставить эффективную массу, которую мы подсчитывали в предыдущей главе, но поскольку нас интересует только грубый расчет, то предположим, что эта эффективная масса во всех направлениях одинакова. Мы ее здесь обозначим т n . В этом приближении средняя скорость дрейфа будет равна

Мы видим, что плотность тока пропорциональна электрическому полю; такие полупроводниковые материалы подчиняются закону Ома. Коэффициент пропорциональности между j и E, или проводимость σ, равен

Для материалов n-типа проводимость в общем не зависит от температуры. Во-первых, общее число основных носителей N n определяется главным образом плотностью доноров в кристалле (пока температура не настолько низка, чтобы позволять атомам захватить чересчур много носителей), а, во-вторых, среднее время от соударения к соударению, τ n , регулируется главным образом плотностью атомов примеси, а она, ясное дело, от температуры не зависит. Те же рассуждения можно приложить к веществу р-типа, переменив только значения параметров, которые появляются в (12.7). Если в одно и то же время имеется сравнимое количество отрицательных и положительных носителей, то вклады носителей обоего рода надо сложить. Полная проводимость определится из Для очень чистых веществN р и N n примерно равны. Они будут меньше, чем у материалов с примесями, так что и проводимость будет меньше. Кроме того, они будут резко меняться с температурой (по закону е –Е щели /xТ ), так что проводимость с температурой может меняться чрезвычайно быстро.

В качестве первого приближения рассмотрим решение уравнения Шредингера для частиц в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. В этом случае решение у. Ш. удобно искать в виде произведения трех волновых функций:

() = (x)(y)(z)

(6.2)

Решение у. Ш. внутри ямы имеет простой вид:

.
(x) = a sin k x x + b cos k x x,
(x) = 0 b = 0, (L) = 0 k x L = n x .

(6.3)

Здесь n - целое число. Последние условия являются следствием “сшивания” волновой функции внутри и извне ямы. Полная энергия частицы в яме:

Максимальная энергия частицы в яме называется энергией Ферми (см. рис.6.1) :

Число состояний частицы с энергиями E < E F равно интегралу от (6.6), причем лишь по положительным значениям волновых векторов (рис.6.2). Ограничение положительными значениями импульса уменьшит (6.6) в 8 раз. Чтобы получить число возможных состояний нуклона в потенциальной яме, нужно учесть две возможные проекции спина нуклона на ось и две проекции изоспина (т.е. протоны и нейтроны). Тогда число состояний должно равняться числу нуклонов А :

(6.7)

Объем ямы V равен объему ядра: V = (4/3)R 3 = (4/3)r 0 3 A.
Оценим нуклонную плотность ядра . Используя равенство (6.7), одновременно найдем связь импульса Ферми с экспериментально измеряемым параметром r 0:

.	(6.8)
; .	(6.9)

Получаем, что нуклонная плотность ядра (6.8) приблизительно постоянна.
Нуклонная плотность ядер экспериментально определена в опытах по рассеянию электронов промежуточных энергий (Е > 100 МэВ) на ядрах. Дополнили эти эксперименты опыты по рассеянию протонов тех же энергий. Результатом этих опытов было представление о распределении плотности ядерной материи в виде распределения Ферми:

Нуклонная плотность ядер, согласно этим измерениям, близка к константе, для средних и тяжелых ядер почти на зависит от А и приближенно составляет 0 0.17 Фм -3 .
Из (6.9) получим значение импульса Ферми:

K F (1.25 - 1.35) Фм -1 (250 - 270) МэВ/c.

(6.12)

Отсюда значение максимальной кинетической энергии частиц Ферми-газа (энергии Ферми) составляет E F (35 - 38) МэВ. Следует подчеркнуть, что эта величина в ФГМ не зависит от числа нуклонов в ядре. Отсюда можно получить и приближенную величину глубины ядерной потенциальной ямы. Поскольку средняя энергия отделения нуклона от ядра составляет около 8 МэВ, глубина потенциальной ямы V 0 = E F + (42 - 46) МэВ (cм. рис.6.1).
Оценку этой же величины можно получить из других соображений, например из решения задачи о потенциале дейтрона. Таким образом, простая модель Ферми-газа приводит к разумным оценкам глубины потенциальной ядерной ямы.

Тот факт, что нуклоны ядра находятся в движении, особенно наглядным образом проявляется в реакциях квазиупругого рассеяния электронов. Сечение этого процесса представляет собой широкий максимум, расположенный выше по энергии, чем область возбуждения мультипольных гигантских резонансов в ядрах (см. рис.6.3). Если бы рассеяние электрона происходило на неподвижном нуклоне, максимум находился бы при переданной ядру энергии, связанной с переданным ядру импульсом q простым нерелятивистским соотношением = q 2 /M*, где = 1 - 2 - переданный импульс, M* - “эффективная” масса нуклона в ядре. Но вместо узкого пика при этой энергии на кривой сечения наблюдается широкий максимум. Его ширина обусловлена именно фермиевским движением нуклонов ядра. Рассеяние электрона происходит – в предельных случаях – как на нуклоне, движущемся навстречу электрону, так и параллельно импульсу электрона. Поэтому измерение ширин пиков квазиупругого рассеяния является способом независимого определения величины импульса Ферми. В табл.1 для нескольких ядер приведены значения импульсов Ферми, рассчитанные из данных по квазиупругому рассеянию электронов.

Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака

Функция распределения Ферми-Дирака, описывающая распределение фермионов по состояниям, имеет следующий вид:

здесь E F - химический потенциал системы фермионов, т.е. работа, которую необходимо затратить, чтобы изменить число частиц в системе на одну. В случае электронов величина E F называется энергией Ферми .

Рассмотрим вид функции Ферми-Дирака при температуре, стремящейся к абсолютному нулю. Как нетрудно видеть из формулы (3.4), для любой энергии частицы, большей энергии Ферми, экспонента в знаменателе стремится к бесконечности при , следовательно f(Е) стремится к нулю. Это значит, что все энергетические состояния с Е > E F совершенно свободны при абсолютном нуле. Если Е < E F при , f(E) стремится к единице. Это значит, что все квантовые состояния с энергией, меньше энергии Ферми, полностью заняты электронами. Отсюда понятен физический смысл энергии Ферми как параметра распределения электронов по состояниям: энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля . Энергетический уровень, соответствующий энергии Ферми, называется уровнем Ферми .

Вид функции распределения Ферми-Дирака при Т = 0К представлен на рис. 3.2,а. На рис. 3.2,б показано распределение электронов по энергетическим уровням в зоне проводимости металла при этой же температуре.

Если Т  0К , то при энергии частицы, равной энергии Ферми, функция распределения Ферми-Дирака равна 1/2 . Это значит, что при любой температуре, отличающейся от абсолютного нуля, уровень Ферми заполнен наполовину. Вид функции Ферми-Дирака для двух различных температур показан схематически на рис. 3.3. Изменение характера распределения электронов по состояниям связано с тепловым возбуждением электронов. При этом часть электронов переходит в состояния с энергиями, большей энергии Ферми. Соответственно часть состояний ниже уровня Ферми оказывается свободной. В результате функция f(E) "размыта" вблизи энергии Ферми. Тепловому возбуждению подвергается незначительная часть электронов, находящихся вблизи уровня Ферми. Функция Ферми-Дирака заметно отличается от вида, который она имела при абсолютном нуле, лишь при . Величина "размытия" пропорциональна температуре (рис. 3.3). Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения.

При условии

(3.5)

экспонента в знаменателе становится значительно больше единицы в формуле (3.4). В этом случае единицей можно пренебречь и распределение Ферми-Дирака преобразуется к виду

Выражение (3.6) совпадает по форме с функцией распределения Максвелла-Больцмана.

Вероятность того, что некоторый энергетический уровень с энергией Е свободен, т.е. занят дыркой, равна

1.8. Атом водорода в квантовой механике. Квантовые числа

Состояния электрона в атоме водорода

1.9. 1S– состояние электрона в атоме водорода

1.10. Спин электрона. Принцип Паули

1.11. Спектр атома водорода

1.12. Поглощение света, спонтанное и вынужденное излучения

1.13. Лазеры

1.13.1. Инверсия населенностей

1.13.2. Способы создания инверсии населенностей

1.13.3. Положительная обратная связь. Резонатор

1.13.4. Принципиальная схема лазера.

1.14. Уравнение Дирака. Спин.

2. Зонная теория твердых тел.

2.1. Понятие о квантовых статистиках. Фазовое пространство

2.2. Энергетические зоны кристаллов. Металлы. Полупроводники. Диэлектрики

Удельное сопротивление твердых тел

2.3. Метод эффективной массы

3. Металлы

3.1. Модель свободных электронов

При переходе из вакуума в металл

3.2. Распределение электронов проводимости в металле по энергиям. Уровень и энергия Ферми. Вырождение электронного газа в металлах

Энергия Ферми и температура вырождения

3.3. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов

3.4. Явление сверхпроводимости. Свойства сверхпроводников. Применение сверхпроводимости

3.5. Понятие об эффектах Джозефсона

4. Полупроводники

4.1. Основные сведения о полупроводниках. Классификация полупроводников

4.2. Собственные полупроводники

4.3.Примесные полупроводники

4.3.1.Электронный полупроводник (полупроводник n-типа)

4.3.2. Дырочный полупроводник (полупроводник р-типа)

4.3.3.Компенсированный полупроводник. Частично компенсированный полупроводник

4.3.4.Элементарная теория примесных состояний. Водородоподобная модель примесного центра

4.4. Температурная зависимость удельной проводимости примесных полупроводников

4.4.1.Температурная зависимость концентрации носителей заряда

4.4.2.Температурная зависимость подвижности носителей заряда

4.4.3. Температурная зависимость удельной проводимости полупроводникаn-типа

4.4.5. Термисторы и болометры

4.5. Рекомбинация неравновесных носителей заряда в полупроводниках

4.6. Диффузия носителей заряда.

4.6.1. Диффузионная длина

4.6.2. Соотношение Эйнштейна между подвижностью и коэффициентом диффузии носителей заряда

4.7. Эффект Холла в полупроводниках

4.7.1. Возникновение поперечного электрического поля

4.7.2. Применение эффекта Холла для исследования полупроводниковых материалов

4.7.3. Преобразователи Холла

4.8. Магниторезистивный эффект

5. Электронно-дырочный переход

5.1.Образование электронно-дырочного перехода

5.1.1. Электронно-дырочный переход в условиях равновесия (при отсутствии внешнего напряжения)

5.1.2.Прямое включение

5.1.3.Обратное включение

5.2.КласСификация полупроводниковых диодов

5.3. Вольт-амперная характеристика электроннно-дырочного перехода. Выпрямительные, детекторные и преобразовательные диоды

5.3.1.Уравнение вольт-амперной характеристики

Классификация полупроводниковых диодов

5.3.2.Принцип действия и назначение выпрямительных, детекторных и преобразовательных диодов

5.4. Барьерная емкость. Варикапы

5.5.Пробой электронно-дырочного перехода

5.6. Туннельный эффект в вырожденном электронно-дырочном переходе. Туннельные и обращенные диоды

6.Внутренний фотоэффект в полупроводниках.

6.1.Фоторезистивный эффект. Фоторезисторы

6.1.1.Воздействие излучения на полупроводник

5.1.2.Устройство и характеристики фоторезисторов

6.2.Фотоэффект в электронно-дырочном переходе. Полупроводниковые фотодиоды и фотоэлементы.

6.2.1.Воздействие света наp-n-переход

7.Люминесценция твердых тел

7.1.Виды люминесценции

7.2.Электролюминесценция кристаллофосфоров

7.2.1. Механизм свечения кристаллофосфоров

7.2.2. Основные характеристики электролюминесценции кристаллофосфоров

7.3.Инжекционная электролюминесценция. Устройство и характеристики светодиодных структур

7.3.1.Возникновение излучения в диодной структуре

7.3.2.Конструкция светодиода

7.3.3.Основные характеристики светодиодов

7.3.4.Некоторые применения светодиодов

7.4 Понятие об инжекционных лазерах

8. Транзисторы

8.1.Назначение и виды транзисторов

8.2.Биполярные транзисторы

8.2.1 Структура и режимы работы биполярного транзистора

8.2.2.Схемы включения биполярных транзисторов

8.2.3.Физические процессы в транзисторе

8.3.Полевые транзисторы

8.3.1.Разновидности полевых транзисторов

8.3.2.Полевые транзисторы с управляющим переходом

8.3.3. Полевые транзисторы с изолированным затвором. Структуры мдп-транзисторов

8.3.4.Принцип действия мдп-транзисторов с индуцированным каналом

8.3.5. Мдп-транзисторы со встроенным каналом

8.4. Сравнение полевых транзисторов с биполярными

Заключение

1.Элементы квантовой механики 4

2. Зонная теория твердых тел. 42

3. Металлы 50

4. Полупроводники 66

5. Электронно-дырочный переход 98

6.Внутренний фотоэффект в полупроводниках. 109

7.Люминесценция твердых тел 114

8. Транзисторы 123

Энергия Ферми и температура вырождения

Средняя энергия классического (невырожденного) газа составляет величину порядка ~ kT . При комнатных температурах (T ≈300 K ) kT ≈ 0,025 эВ. Сравнение этой величины с энергией Ферми показывает, чтоkT << E F . Это означает, чтоэлектронный газ в металлах всегда вырожден , то есть проявляет чисто квантовые свойства.

Одним из критериев вырождения является температура вырождения , равная

При T < T F система вырождена и подчиняется квантовым статистикам. ПриT > T F система не вырождена, и ее поведение подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.

В таблице 3.1 приведены также температуры вырождения электронного газа. Они составляют по порядку величины десятки и сотни тысяч градусов. Значит электронный газ является вырожденным при всех температурах, при которых металл находится в твердом состоянии. Вырождению газа способствуют малое значение массы электронов m и их высокая концентрацияn .

Рассмотрим поведение функции распределения f F приТ>0

.(3.2.8)

С повышением температуры электроны приобретают тепловую энергию порядка k Т и переходят на более высокие энергетические уровни (выше уровня Ферми), вследствие чего меняется характер распределения их по энергетическим состояниям (рис.3.3, б). По сравнению с нулевой температурой спад кривойf F (E ) происходит не скачком до нуля приE = E F , а происходит плавно в полосе шириной порядка~ 2 kT . Так как энергия теплового движенияk Т значительно меньше энергии Ферми, то тепловому возбуждению могут подвергаться лишь электроны узкой энергетической полосы порядкаk Т ,непосредственно расположенной вблизи уровня Ферми (рис.3.5).

Электроны, находящиеся на более глубоких энергетических уровнях, остаются практически незатронутыми, так как энергии теплового движенияk Т недостаточно для их возбуждения (для перевода за уровень Ферми). ЭнергииE = E F , соответствует значение функции распределения
. Поэтому приТ > 0 уровень Ферми - это уровень энергии, вероятность заполнения которого равна .

На рис.3.3,б заштрихованные площади пропорциональны числу электронов, покидающих состояние с энергией
, (площадка АДВ) и переходящих на уровни, расположенные выше уровня Ферми
(площадка ВМС). По величине эти площади равны друг другу. Доля электронов, приходящих в состояние теплового возбуждения, равна

, (3.2.9)

При комнатной температуре эта доля незначительна и составляет менее 1% от общего числа электронов проводимости.

Данным обстоятельством объясняется тот факт, что теплоемкость электронного газа оказывается чрезвычайно малой по сравнению с теплоемкостью решетки. Молярная теплоемкость его
, а по классической теории
. (ЗдесьR- универсальная газовая постоянная). Этот результат хорошо согласуется с опытом и снимает одно из затруднений классической электронной теории металлов.

3.3. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов

Теория электропроводности металлов, построенная на основе квантовой механики и квантовой статистики Ферми-Дирака, называется квантовой теорией электропроводности металла.

Расчет электропроводимости металлов в квантовой теории был произведен Зоммерфельдом. Был выведен закон Ома в дифференциальной форме

, (3.3.1)

где  - удельная проводимость;- плотность тока в данной точке;- напряженность электрического поля.

Для удельной проводимости было получено следующее выражение:

; (3.3.2)

где
- средняя длина свободного пробега электрона, обладающего энергией Ферми,
- скорость такого электрона,m - его масса.

Сравним (3.12) с выражением, полученным из классической электронной теории металлов

. (3.3.3)

В этом выражении < λ > - средняя длина свободного пробега электрона,
- средняя скорость его теплового движения.

Несмотря на то, что выражения (3.12) и (3.13) по внешнему виду похожи, их содержание различно. Средняя скорость теплового движения
зависит от температуры, как
, а
практически не зависит от температуры, так как с изменением температуры энергия Ферми, а, следовательно, и скорость, остаются практически неизменными.

Наиболее существенное различие формул (3.3.2) и (3.3.3) состоит в том, какой смысл вкладывается в понятие длины свободного пробега электрона < λ > в классической и квантовой теории металлов.

Классическая электронная теория рассматривает электроны как обычные частицы и причиной электрического сопротивления металлов считает столкновения электронов с узлами кристаллической решетки. Полагая, что электроны сталкиваются почти со всеми узлами решетки, встречающимися на их пути, классическая теория принимает < λ > равной параметру решеткиd (d  10 -10 м ).

Квантовая теория рассматривает электрон как частицу, обладающую волновыми свойствами, а электрический ток в металле - как процесс распространения электронных волн, длина волны которых определяется формулой де Бройля

. (3.3.4)

Такие представления позволяют объяснить наблюдаемую экспериментально температурную зависимость удельной проводимости  и удельного сопротивления. Рассмотрим идеальную кристаллическую решетку металла, в узлах которой находятся неподвижные ионы, а примеси и дефекты отсутствуют. Такая идеальная решетка не рассеивает электронные волны, и электрическое сопротивление такого металла должно быть равно нулю.

В реальных кристаллах при T > 0 ионы совершают тепловые колебания около положения равновесия, нарушая строгую периодичность решетки. Кроме того, в таких решетках обычно присутствуют структурные дефекты: примеси, вакансии, дислокации и так далее. Все эти неоднородности играют роль центров рассеивания для электронных волн и являются причиной электрического сопротивления. Расчет показывает, что средняя длина свободного пробега< λ F > зависит от температуры по закону

, (3.3.5)

где
- модуль упругости;d - параметр решетки.

С учетом (3.15) удельная проводимость  ,определяемая формулой (3.12), будет иметь вид

, (3.3.6)

то есть , а, что хорошо согласуется с опытом в области не слишком низких температур.

При очень низких температурах формула (3.3.5) не выполняется. При этом длина свободного пробега оказывается обратно пропорциональной не первой, а пятой степени температуры, поэтому и удельное сопротивлениеρ будет пропорционально пятой степени абсолютной температуры.

На рис.3.7 изображена зависимость удельного электрического сопротивления металла от температуры. При Т=0 удельное сопротивление металла равно не нулю, а остаточному сопротивлению ост , обусловленному рассеиванием электронных волн на структурных дефектах решетки металла.

Функция распределения для вырожденного коллектива фермионов впервые была получена итальянским физиком Энрико Ферми и английским физиком Полем Дираком:

Химический потенциал μ для фермионов обычно называют энергией , или уровнем Ферми – Е Ф .

Анализ выражения показывает, что при Е =Е Ф и температуре Т >0, f Ф (Е )=½, т.е. вероятность заселения уровня Ферми при Т >0 равна ½.

Для того чтобы понять свойства функции Ферми-Дирака, полезно рассмотреть ее поведение при Т =0. Проводник можно представить в виде потенциальной ямы для электронов, выход из которой требует совершения работы по преодолению сил связи, удерживающих электроны – работы выхода (рис. 3.3, а ). На рисунке показаны энергетические уровни, которые могут занимать электроны. Согласно постулату Паули, на каждом уровне может располагаться не более двух электронов (с противоположными спинами).

а ) б )

Рис. 3.3. Электроны в проводнике: а – Т =0; б – Т >0

Как видно на рисунке, при Т =0 все уровни ниже уровня Ферми заняты, а все уровни выше этого уровня пусты, т.е. функция f Ф (Е ) при Т =0 имеет форму ступеньки (рис. 3.4, а ).

а ) б )

Рис. 3.4. Распределение Ферми-Дирака: а – функция распределения Ф-Д;
б – полная функция распределения

Таким образом можно определить физический смысл уровня Ферми, но только для проводников. В случае полупроводников или изоляторов это определение неприемлемо, поскольку в этих материалах недостаточно свободных электронов и уровень Ферми находится в запрещенной зоне (п. 4.5).

Умножив функцию распределения (3.20) на число состояний (3.13), получим выражение для полной функции распределения при Т =0 (рис. 3.4, б )

поскольку в интервале Е Ф ≥ Е >0, f Ф (Е )=1.

Проинтегрировав (3.21) в указанном интервале энергий, будем иметь выражение для энергии Ферми:

, (3.22)

где n – концентрация электронного газа в проводнике.

Используя выражение (3.21), можно получить формулы для вычисления средней энергии – и максимальной скорости электронов при абсолютном нуле

Необходимо отметить, что кинетическая энергия электронов Е Ф не является тепловой энергией, а имеет чисто квантовую природу и определяется свойствами электронов как Ферми-частиц.

С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни (см. рис. 3.3, б). Происходит “размывание” функций распределения (см.
рис. 3.4), и ступенька Е =Е Ф преобразуется в интервал, ширина которого равна 2kT . Однако более глубокие состояния электронов остаются неизменными.

Проведенные расчеты показывают, что число термически возбужденных частиц составляет для комнатной температуры всего 1...2% от общего числа. Если проинтегрировать полную функцию распределения во всем энергетическом диапазоне, то можно получить выражение для температурной зависимости энергии Ферми

, (3.25)

где Е Ф о – энергия Ферми для Т =0К (3.22).

Напомним, что тепловое возбуждение так незначительно влияет на характеристики вырожденного Ферми-газа, что во многих случаях этим влиянием можно пренебречь и считать Е Ф =Е Ф о во всем температурном диапазоне.

Можно также вычислить среднюю энергию электронов при ненулевой температуре Т >0

, (3.26)

где Е п – полная энергия электронного газа.

Ранее мы говорили о Ферми-газе, считая его вырожденным коллективом. Однако, в случае выполнения критерия (3.11) G >>N , можно говорить о снятии вырождения. Тогда критерий невырожденности (3.11) примет вид

(3.27)

или в случае Е =0

Из последнего соотношения следует, что для невырожденного Ферми-газа должно выполняться условие

-Е Ф > kT (3.29)

При выполнении условия (3.27) единицей в знаменателе выражения (3.20) можно пренебречь, и выражение (3.20) совпадает с формулой для функции Максвелла-Больцмана.

В проводниках, где концентрация электронов высока, электронный газ всегда находится в вырожденном состоянии. С невырожденным электронным газом приходится сталкиваться в собственных (беспримесных) и слаболегированных (10 16 ...10 24 м -3) полупроводниках. При таких условиях выполняется критерий (3.11) и электронный газ млжно считать невырожденным. Поэтому уместно, на наш взгляд, привести таблицу, где содержатся основные характеристики электронного газа: его средняя энергия, квадратичная скорость υ кв , импульс P (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Параметры электронного газа

Параметры газа	Газ
невырожденный	вырожденный
, Т =0 Т >0
J кв , Т =0 Т >0		м/с
Р , Т =0 Т >0		≈10 10 Па Р ≈ Р 0

Из данных таблицы видно, что параметры вырожденного газа в отличие от газа невырожденного при нулевой температуре не равны нулю и практически не зависят от температуры. Это, в свою очередь, говорит о нетепловом квантовомеханическом характере данных процессов.

Возможно, будет полезно почитать: