Понятие о целых числах. Числовые множества — определения

К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.

Натуральные числа — это положительные целые числа.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел .

К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).

Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+ », если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «− », если исходные числа были с разными знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел :

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:

Знак произведения будет «+ », если количество множителей с отрицательным знаком четное и «− », если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+ », а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «− ».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :

a + b = b + a - переместительное свойство сложения;
(a + b) + c = a + (b + c) - сочетательное свойство сложения;
a \cdot b = b \cdot a - переместительное свойство умножения;
(a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - сочетательное свойства умножения;
a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c - распределительное свойство умножения.

Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0, то получится ряд положительных целых чисел :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Целые отрицательные числа

Рассмотрим небольшой пример. На рисунке слева изображён термометр, который показывает температуру 7° тепла. Если температура понизится на 4°, то термометр будет показывать 3° тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

Если температура понизится на 7°, то термометр будет показывать 0°. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

Если же температура понизится на 8°, то термометр покажет -1° (1° мороза). Но результат вычитания 7 - 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля.

Проиллюстрируем вычитание на ряде целых положительных чисел:

1) От числа 7 отсчитаем влево 4 числа и получим 3:

2) От числа 7 отсчитаем влево 7 чисел и получим 0:

Отсчитать в ряду положительных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 - 8 стало выполнимым, расширим ряд положительных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак - , показывающий, что это число стоит слева от нуля.

Записи -1, -2, -3, ... читают минус 1 , минус 2 , минус 3 и т. д.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел . Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.

Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными (кратко - положительными ).

Слева от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют целыми отрицательными (кратко - отрицательными ).

Число 0 целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.

Следовательно, ряд целых чисел состоит из целых отрицательных чисел, нуля и целых положительных чисел .

Сравнение целых чисел

Сравнить два целых числа - значит узнать какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.

Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее , значит:

1) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:

1 > 0; 15 > -16

2) Любое отрицательное число меньше нуля:

7 < 0; -357 < 0

3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее.

Учитель высшей категории

Какие числа называются целыми?

Цели урока:

-Расширить понятие числа введением отрицательных чисел:

-Сформировать навык записи положительных и отрицательных чисел.

Задачи урока.

Образовательные – содействовать развитию умения обобщать и систематизировать, содействовать развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные – воспитание установки на самообразование, самовоспитание, точную исполнительность, творческое отношение к деятельности, критичность мышления.

Развивающие – развивать у школьников умения сравнивать и обобщать, логически излагать мысли, развивать математический кругозор, мышление и речь, внимание и память .

Ход урока:

1. Вводная беседа.

До сих пор на уроках математики мы рассматривали какие числа?

-Натуральные и дробные.

Какие числа называются натуральными?

- Это числа используемые при счете предметов.

Сколько их можете сказать?

- бесконечно много.

Ноль является натуральным числом? Почему?

-Для чего нужны дробные числа?

-Мы не только считаем предметы, но части некоторых величин.

Какие дроби вы знаете?

- Обыкновенные и десятичные.

Задание № 1.

Среди чисел назовите натуральные? Обыкновенные дроби? Десятичные дроби?

10; 1,1; https://pandia.ru/text/77/504/images/image002_2.png" width="16" height="35 src=">; https://pandia.ru/text/77/504/images/image004_0.png" width="24" height="35 src=">.

2. Объяснение нового материала:

Однако в жизни вы уже наверняка встречались и с другими числами, какими? Где?

-Отрицательными. Например, в сводке погоды.

Перед тем, как перейти к изучению новой темы, давайте обсудим знаки, которые помогут в расширении множества чисел. Это знаки плюс и минус. Подумайте, с чем же в жизни ассоциируются эти знаки. Это может быть все, что угодно: белое - черное, хорошее – плохое. Ваши примеры мы запишем в виде таблицы.

Как много мыслей вызывают всего два знака. На самом деле эти два знака дают возможность идти в разные стороны. Такие числа, «похожие» на натуральные, но со знаком минус, нужны в тех случаях, когда величина может меняться в двух противоположных направлениях. Для выражения величины отрицательным числом вводят некоторую начальную, нулевую отметку. Посмотрим примеры, которые сделали другие, а дома подумаете и сделаем свою презентацию. Слайд № 2-7.

Использование знака очень удобно. Его использование принято во всем мире. Но так было не всегда. Слайд №8.

Итак, наряду с натуральными числами

1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …

Мы будем рассматривать отрицательные числа, каждое из которых получается приписыванием к соответствующему натуральному числу знака минус:

-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …

Натуральное число и соответствующее ему отрицательное число называют противоположными. Например, числа15 и -15. Можно -15 и 15. О противоположен себе.

Правило: Натуральные числа, противоположные им отрицательные и число 0 называют целыми числами. Все эти числа вместе составляют множество целых чисел.

Откройте учебник стр 159, найдите правило, прочитайте еще раз, дома его учим наизусть.

Натуральное число принято называть также положительным целым, т е это одно и то же. Перед ним, для того чтобы подчеркнуть внешнее отличие от отрицательного, иногда ставится знак плюс. +5=5.

3. Формирование умений и навыков:

1) № 000.

2) Выпишите данные числа в две группы: положительные и отрицательные:

-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.

3) Игра «мое настроение».

Сейчас выбудете оценивать свое настроение в настоящий момент по следующей шкале:

Хорошее настроение: +1, +2, +3, +4, +5.

Плохое настроение: -1, -2, -3, -4, -5.

Один человек будет писать результаты на доске, а все остальные будут вслух по очереди говорить: «У меня хорошее настроение на4балла»

4) Игра « хлопушка»

Я буду называть пары чисел, если пара является противоположной, то вы хлопаете в ладоши, если же нет, то в классе должна быть тишина:

5 и -5; 6 и 0,6; -300 и 300; 3 и 1/3; 8 и 80; 14 и -14; 5/7 и 7/5; -1 и 1.

5) Пропедевтика изучения сложения целых чисел:

№ 000 (а).

Решение смотрим с помощью презентации. Слайд №8.

4. Итоги урока:

-Какие числа называются положительными? Отрицательными?

-Что узнали про о?

- Для чего нужны отрицательные числа?

-Как записываются положительные и отрицательные числа?

5. Д/З: п. 8.1, № 000, 721(б), 715(б). Творческое задание: сочинить стих про целые числа, рисунок, презентацию, сказку.

Из цифры вычтем мы другую,
Ставим черточку прямую.
Этот знак мы узнаем,
"Минус" мы его зовем.
1.
Стоит единичка,
Похожа на спичку.
Она просто черточка
С маленькой челочкой.

2.
По воде скользит едва,
Словно лебедь, цифра два.
Шею выгнула дугой,
Гонит волны за собой.

3.
Два крючочка, посмотри,
Получилась цифра три.
Но на эти два крючка
Не насадишь червячка.

4.
Вилку как-то уронили,
Один зубчик отломили.
Вилка эта в целом мире
Называется "четыре".

5.
Цифра пять - с большим брюшком,
Носит кепку с козырьком.
В школе эту цифру пять
Дети любят получать.

6.
Что за вишенка, дружок,
Кверху загнут стебелек?
Ты ее попробуй съесть,
Эта вишня - цифра шесть.

7.
Я такую кочергу
Сунуть в печку не смогу.
Про нее известно всем,
Что она зовется "семь".

8.
Вилась веревочка, вилась,
В две петельки заплелась.
"Что за цифра?" - маму спросим.
Мама нам ответит: "Восемь".

9.
Ветер сильный дул и дул,
Вишенку перевернул.
Цифра шесть, скажи на милость,
В цифру девять превратилась.

10.
Словно старшая сестричка,
Ведет нолик единичка.
Только вместе пошагали,
Сразу цифрой десять стали.

Стихи о математике

Математика – основа и царица всех наук,
И тебе с ней подружиться я советую, мой друг.
Ее мудрые законы если будешь выполнять,
Свои знанья приумножишь,
Станешь ты их применять.
Сможешь по морю ты плавать,
Сможешь в космосе летать.
Дом построить людям сможешь:
Будет он сто лет стоять.
Не ленись, трудись, старайся,
Познавая соль наук
Все доказывать пытайся,
Но не покладая рук.
Станет пусть бином Ньютона
Для тебя, как друг родной,
Как в футболе Марадонна,
В алгебре он основной.
Синус, косинус и тангенс
Должен знать ты на зубок.
И конечно же котангенс,–
Это точно, мой дружок.
Если это все изучишь,
Если твердо будешь знать,
То, возможно, ты сумеешь
Звезды в небе сосчитать
Саушкина Яна, 8 класс
Люблю я математику,
Не так она сложна,
И нет там в ней грамматики,
И всем она нужна.
По алгебре проходим мы
Координаты, ось,
Куда идет прямая,
Прямо или вкось.
Сложение квадратов,
Деление корней,
И что получится при этом,
Узнаем только в ней.
Фигур найдешь симметрию,
Взяв в руки геометрию.

Аржникова Светлана,
8 класс

Сложная наука математика:
Нужно здесь делить и умножать.
Это не ИЗО и не грамматика,
Много надо тут запоминать.
Это не труды, не биология,
Формул много нужно применять.
Это не рассказ и не трилогия,
Можно здесь из чисел вычитать.
Это не английский и не музыка,
Умная наука, но трудна.
Сложная наука математика –
Пригодится в жизни нам она.

Разборов Роман,
8 класс

Скорость свою найти
И рассчитать пути
Сможет тебе помочь
Лишь математика.
Есть у меня тетрадь,
Только вот что скрывать:
Часто бывает лень
Что-то в нее вписать.
Даром преподаватели
Время со мною тратили,
Даром со мною мучались,
Время теряли зря.
Мудрых преподавателей
Слушал я невнимательно,
Если что было задано,
Не выполнял ведь я.
Сделать хотел квадрат,
Но был и сам не рад:
Стороны измерял,
В градусах записал.
Вместо сторон – углы,
А на углах круги.
Я б не хотел сейчас
Это решать опять.
Стал вырезать я круг,
Ромб получился вдруг,
Радиус не нашел,
Диагональ провел.
Ночью приснился сон:
Круг плачет, плачет он.
Плачет и говорит:
“Что с нами сделал ты?”

,
учитель математики

Раз, два, три, четыре, пять,
Встали цифры дружно в ряд.
Будем мы сейчас считать:
Складывать и умножать.
Дважды два равно четыре;
Дважды три, конечно, шесть.
Знает каждый во всем мире,
Сколько будет два плюс шесть.
А теперь сравнить мы можем,
Что же больше: два иль семь?
В этом правило поможет
Тот ответ найти нам всем.
С математикой мы будем
Крепко-накрепко дружить,
Никогда мы не забудем
Этой дружбой дорожить.

Витютнева Марина,

· Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.

Существуют множество разновидностей чисел, одни из них – это целые числа. Целые числа появились для того, чтобы облегчить счет не только в положительную сторону, но и в отрицательную.

Рассмотрим пример:
Днем на улице была температура 3 градуса. К вечеру температура снизилась на 3 градуса.
3-3=0
На улице стало 0 градусов. А ночью температура снизилась на 4 градуса и стало показывать на термометре -4 градуса.
0-4=-4

Ряд целых чисел.

Натуральными числами мы такую задачу описать мы не сможем, рассмотрим эту задачу на координатной прямой.

У нас получился ряд чисел:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Этот ряд чисел называется рядом целых чисел .

Целые положительные числа. Целые отрицательные числа.

Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля идут натуральные числа или их еще называют целыми положительными числами . А слева от нуля идут целые отрицательные числа.

Нуль не является ни положительным ни отрицательным числом. Он является границей между положительными и отрицательными числами.

– это множество чисел, состоящие из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону является бесконечным множеством.

Если мы возьмём два любых целых числа, то числа, стоящие между этими целыми числами, будут называться конечным множеством.

Например:
Возьмем целые числа от -2 до 4. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Наше конечное множество чисел выглядит так:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натуральные числа обозначаются латинской буквой N.
Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Все множество натуральных чисел и целых чисел можно изобразить на рисунке.

Неположительные целые числа другими словами – это отрицательные целые числа.
Неотрицательные целые числа – это положительные целые числа.

Алгебраические свойства

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Целующиеся милиционеры
Целые вещи

Смотреть что такое "Целые числа" в других словарях:

Гауссовы целые числа - (гауссовы числа, целые комплексные числа) это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть целые числа. Введены Гауссом в 1825 году. Содержание 1 Определение и операции 2 Теория делимости … Википедия

ЧИСЛА ЗАПОЛНЕНИЯ - в квантовой механике и квантовой статистике, числа, указывающие степень заполнения квант. состояний ч цами квантовомеханич. системы многих тождественных частиц. Для систем ч ц с полуцелым спином (фермионов) Ч. з. могут принимать лишь два значения … Физическая энциклопедия

Числа Цукермана - Числа Цукермана такие натуральные числа, которые делятся на произведение своих цифр. Пример 212 число Цукермана, так как и. Последовательность Все целые числа от 1 до 9 являются числами Цукермана. Все числа, включащие ноль, не… … Википедия

Целые алгебраические числа - Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и в частности вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице. По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические… … Википедия

Целые комплексные числа - гауссовы числа, числа вида а + bi, где а и b целые числа (например, 4 7i). Геометрически изображаются точками комплексной плоскости, имеющими целочисленные координаты. Ц. к. ч. введены К. Гауссом в 1831 в связи с исследованиями по теории… …

Числа Каллена - В математике числами Каллена называют натуральные числа вида n 2n + 1 (пишется Cn). Числа Каллена впервые были изучены Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена это особый вид чисел Прота. Свойства В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher… … Википедия

Числа с фиксированной точкой - Число с фиксированной запятой формат представления вещественного числа в памяти ЭВМ в виде целого числа. При этом само число x и его целочисленное представление x′ связаны формулой, где z цена младшего разряда. Простейший пример арифметики с… … Википедия

Числа заполнения - в квантовой механике и квантовой статистике, числа, указывающие степень заполнения квантовых состояний частицами квантово механической системы многих тождественных частиц (См. Тождественные частицы). Для системы частиц с полуцелым Спином… … Большая советская энциклопедия

Числа Лейланда - Число Лейланда это натуральное число, представимое в виде xy + yx, где x и y целые числа больше 1. Первые 15 чисел Лейланда: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649 последовательность A076980 в OEIS.… … Википедия

Целые алгебраические числа - числа, являющиеся корнями уравнений вида xn + a1xn 1 +... + an = 0, где a1,..., an целые рациональные числа. Например, x1 = 2 + Ц. а. ч., так как x12 4x1 + 1 = 0. Теория Ц. а. ч. возникла в 30 40 x гг. 19 в. в связи с исследованиями К.… … Большая советская энциклопедия

Книги

Арифметика: Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные , Киселев, Андрей Петрович. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…

Возможно, будет полезно почитать: